5.4 The Product Moment Correlation Coefficient

积矩相关系数 - 练习题

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练习题

练习题

Exercise 1

计算以下数据的积矩相关系数，并解释其含义：

变量X 5 7 9 11 13
变量Y 12 15 17 20 23
答题区域
Exercise 2

某研究调查了8名学生的数学成绩和物理成绩，数据如下：

数学成绩 (X) 65 72 80 85 75 90 68 78
物理成绩 (Y) 60 68 75 82 70 88 65 73

计算数学成绩和物理成绩之间的积矩相关系数，并解释两个变量之间的关系强度和方向。

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Exercise 3

以下是某公司10名员工的工作年限（年）和月薪（千元）数据：

工作年限 (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月薪 (Y) 3.5 4.2 4.8 5.5 6.2 6.8 7.3 7.9 8.5 9.2

（a）计算工作年限和月薪之间的积矩相关系数。

（b）根据相关系数，描述工作年限和月薪之间的关系。

（c）这种相关关系是否意味着工作年限直接导致月薪增加？为什么？

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Exercise 4

一家餐厅记录了12天的顾客数量和日营业额（百元）数据：

顾客数量 (X) 120 140 110 150 130 160 100 170 145 125 155 135
日营业额 (Y) 32 38 29 42 35 45 27 48 40 33 43 37

（a）计算顾客数量和日营业额之间的积矩相关系数。

（b）解释相关系数的含义。

（c）如果餐厅经理想预测某天的营业额，这种相关性对他有什么帮助？

答题区域

答案与解析

Exercise 1 - 答案

使用直接计算形式的公式：

\[r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}\]

  1. 计算必要的总和：
    2. X Y XY X² Y²
    5 12 60 25 144
    7 15 105 49 225
    9 17 153 81 289
    11 20 220 121 400
    13 23 299 169 529
    ∑X=45 ∑Y=87 ∑XY=837 ∑X²=445 ∑Y²=1587
  2. 代入公式计算：

    3. n = 5

    分子：5×837 - 45×87 = 4185 - 3915 = 270

    分母部分1：5×445 - 45² = 2225 - 2025 = 200

    分母部分2：5×1587 - 87² = 7935 - 7569 = 366

    分母：√(200×366) = √73200 ≈ 270.55

    因此，r ≈ 270/270.55 ≈ 0.998

积矩相关系数 r ≈ 0.998，这表明变量X和变量Y之间存在极高的正相关关系。X值增加时，Y值几乎完美地按比例增加。

Exercise 2 - 答案
  1. 计算必要的总和：
    2. X Y XY X² Y²
    65 60 3900 4225 3600
    72 68 4896 5184 4624
    80 75 6000 6400 5625
    85 82 6970 7225 6724
    75 70 5250 5625 4900
    90 88 7920 8100 7744
    68 65 4420 4624 4225
    78 73 5694 6084 5329
    ∑X=613 ∑Y=581 ∑XY=45050 ∑X²=47467 ∑Y²=42771
  2. 代入公式计算：

    3. n = 8

    分子：8×45050 - 613×581 = 360400 - 356153 = 4247

    分母部分1：8×47467 - 613² = 379736 - 375769 = 3967

    分母部分2：8×42771 - 581² = 342168 - 337561 = 4607

    分母：√(3967×4607) = √(18,275,969) ≈ 4275.04

    因此，r ≈ 4247/4275.04 ≈ 0.993

数学成绩和物理成绩之间的积矩相关系数 r ≈ 0.993，这表明两者之间存在极高的正相关关系。数学成绩较高的学生，物理成绩也倾向于较高；数学成绩较低的学生，物理成绩也倾向于较低。

Exercise 3 - 答案
  1. （a）计算积矩相关系数：
    2. X Y XY X² Y²
    1 3.5 3.5 1 12.25
    2 4.2 8.4 4 17.64
    3 4.8 14.4 9 23.04
    4 5.5 22.0 16 30.25
    5 6.2 31.0 25 38.44
    6 6.8 40.8 36 46.24
    7 7.3 51.1 49 53.29
    8 7.9 63.2 64 62.41
    9 8.5 76.5 81 72.25
    10 9.2 92.0 100 84.64
    ∑X=55 ∑Y=63.9 ∑XY=402.9 ∑X²=385 ∑Y²=440.45

    代入公式：

    n = 10

    分子：10×402.9 - 55×63.9 = 4029 - 3514.5 = 514.5

    分母部分1：10×385 - 55² = 3850 - 3025 = 825

    分母部分2：10×440.45 - 63.9² = 4404.5 - 4083.21 = 321.29

    分母：√(825×321.29) = √(265,064.25) ≈ 514.84

    因此，r ≈ 514.5/514.84 ≈ 0.999

  2. （b）解释：工作年限和月薪之间的积矩相关系数接近1，表明两者之间存在极高的正相关关系。随着工作年限的增加，月薪几乎完美地按比例增加。
  3. （c）相关与因果：虽然工作年限和月薪之间存在极高的正相关，但这并不一定意味着工作年限直接导致月薪增加。这种相关性可能受到其他因素的影响，如：
    • 随着工作年限增加，员工的技能和经验也在积累
    • 公司可能有基于资历的薪酬制度
    • 通货膨胀因素导致薪资随时间整体上涨

（a）积矩相关系数 r ≈ 0.999

（b）工作年限和月薪之间存在极高的正相关关系

（c）相关不等于因果，可能存在其他因素影响这种关系

Exercise 4 - 答案
  1. （a）计算积矩相关系数：
    2. X Y XY X² Y²
    120 32 3840 14400 1024
    140 38 5320 19600 1444
    110 29 3190 12100 841
    150 42 6300 22500 1764
    130 35 4550 16900 1225
    160 45 7200 25600 2025
    100 27 2700 10000 729
    170 48 8160 28900 2304
    145 40 5800 21025 1600
    125 33 4125 15625 1089
    155 43 6665 24025 1849
    135 37 4995 18225 1369
    ∑X=1640 ∑Y=449 ∑XY=62845 ∑X²=239900 ∑Y²=17263

    代入公式：

    n = 12

    分子：12×62845 - 1640×449 = 754140 - 736360 = 17780

    分母部分1：12×239900 - 1640² = 2878800 - 2689600 = 189200

    分母部分2：12×17263 - 449² = 207156 - 201601 = 5555

    分母：√(189200×5555) = √(1,050,006,000) ≈ 32403.8

    因此，r ≈ 17780/32403.8 ≈ 0.549

  2. （b）解释：顾客数量和日营业额之间的积矩相关系数约为0.549，表明两者之间存在中等强度的正相关关系。顾客数量较多的日子，营业额也倾向于较高；顾客数量较少的日子，营业额也倾向于较低。
  3. （c）对餐厅经理的帮助：
    • 可以基于预期的顾客数量来预测大致的营业额，有助于库存管理和人员安排
    • 了解顾客数量变化对收入的影响程度，为营销决策提供依据
    • 识别影响营业额的其他因素，因为相关系数不是极高，说明还有其他因素影响营业额
    • 建立简单的预测模型，提高业务规划的准确性

（a）积矩相关系数 r ≈ 0.549

（b）顾客数量和日营业额之间存在中等强度的正相关关系

（c）帮助经理进行营业额预测、资源配置和营销策略制定